2020年1月，北大數(shù)學“黃金一代”成員之一的袁新意回到北大，任北京國際數(shù)學研究中心教授。他是新生代數(shù)學家中第一位在美國頂尖高校獲得終身教職后回國的學者。他也是第一位獲美國克雷研究所研究獎學金的華人。
袁新意于2003年本科畢業(yè)于北京大學數(shù)學科學學院，2008年獲得美國哥倫比亞大學數(shù)學博士學位。同年，他獲得著名的Clay Research Fellow，在美國克雷研究所做博士后，2011年至2012年在普林斯頓大學任助理教授，2012年起在美國加州大學伯克利分校任助理教授，2018年7月起任副教授。袁新意的工作領域是數(shù)論和算術幾何，主要的工作方向有兩個：1.Arakelov幾何和代數(shù)動力系統(tǒng)；2. 自守形式，志村簇與L函數(shù)。他在這兩個方向都有突破性的工作，被認為是這兩個方向的國際領軍數(shù)學家。
袁新意老師2018年回北大訪問期間攝于未名湖畔
一、來到數(shù)論“群山”腳下
多年以后，在初雪紛紛而落的北京，當袁新意望著數(shù)學中心院內的銀色世界時，也許會想起父親帶他去鎮(zhèn)上新華書店的那個遙遠而火熱的夏天。那時他的數(shù)學世界里沒有Arakelov發(fā)明的精巧的相交理論，也沒有Gross和Zagier揭示橢圓曲線有理點信息的深刻公式，但簡單的四則運算和初等方程已經足夠俘獲一個懵懂少年的心。
和很多后來成長為優(yōu)秀數(shù)學家的同輩一樣，那時的袁新意也渴望在數(shù)學競賽中證明自己的熱愛，但他對數(shù)學的熱切呼喚并沒有立刻得到回應。在初一暑假那個火熱的夏天，因為缺乏系統(tǒng)訓練而屢次在數(shù)學競賽中鎩羽而歸的袁新意終于下定決心，在鎮(zhèn)上的新華書店買了一本競賽教材并開始自學。艱苦的訓練帶來了豐碩的回報。初中數(shù)學聯(lián)賽滿分，高中一路入選國家隊并順利獲得國際數(shù)學奧林匹克金牌，然后順理成章地來到北京大學數(shù)學科學學院。
本科是一段奇妙的旅程，在這期間，袁新意收獲了新知，結識了好友，但也經歷了迷茫和煎熬。新世紀前后，北大數(shù)學已經開啟了針對本科生的“加強版”培養(yǎng)模式，前沿報告、學生討論班、本科生科研等為同學們帶來了精妙的前所未聞的數(shù)學知識，也啟迪著他們的智慧，引導他們走上探索發(fā)現(xiàn)之路。這種“求知若渴”的高強度學習方式最終培養(yǎng)出為人稱道的“黃金一代”，但對當時的袁新意來說，仰之彌高、鉆之彌堅的歷代數(shù)學家的思想結晶讓他在欣賞的同時，也讓他對自己能否勝任數(shù)學工作心生膽怯。
值得慶幸的是，這些高維向量叢中紛繁復雜的思想截面沒有影響袁新意在“現(xiàn)實的底空間上”堅定前行的腳步。這個從湖北鄉(xiāng)村走出來的陽光少年，憑借他個性中的執(zhí)著和闖蕩精神，熬過了困惑和GRE，抱著“至少看看別人是怎么做數(shù)學的”簡單想法，三年本科畢業(yè)的袁新意遠渡重洋，來到美國哥倫比亞大學，跟隨張壽武老師學習數(shù)論。
“畢竟一個人的一生很長，用最年富力強的時光嘗試實現(xiàn)自己的追求，并沒有人們想象的那么奢侈。”袁新意用這句話來為自己的彷徨時代作注解。
在哥大，師長和同學的幫助、身邊環(huán)境的熏陶給了他很大的觸動，他意識到這就是自己想要的生活，而且相信自己完全有能力成為他們這樣的人。安下心來的他，終于來到了數(shù)論群山的山腳下，開始攀登了。
二、“我可以嗎？”可以！
純粹數(shù)學之路是一條不平凡的路，在越過那個“點”，真正獨立地作出一個令同行承認的成果之前，每個走在這條路上的年輕人對自己選擇的這條路未免心存疑惑，袁新意也不例外。從本科時代起就有一個藏在他心底的疑問：我能在數(shù)學上做到滿意嗎？
袁新意老師2013年回國探親期間攝于湖北麻城
學生時代的第一個研究問題往往對一個數(shù)學家意義重大。在張壽武老師的指導下，博士期間的袁新意首先關注的是Arakelov幾何的相關問題，這個理論在70年代由Arakelov提出，最早的目的是為了求解丟番圖方程。它將抽象的代數(shù)幾何和復微分幾何聯(lián)系起來：微分幾何里的曲率的積分在某種意義下可以被理解為相交數(shù)，自然可以和代數(shù)幾何里面的相交數(shù)建立起聯(lián)系。具體到求解丟番圖方程上，一般我們考慮丟番圖方程是考慮它的有理數(shù)解或整數(shù)解，但也可以在例如p進數(shù)、實數(shù)乃至復數(shù)集上觀察它的結構。Arakelov幾何就是把這些p進的性質和實數(shù)的乃至復數(shù)的性質拼接起來。后來Faltings集其中諸多思想之大成，最終證明了Mordell猜想，這使得Arakelov幾何引起了廣泛關注。再后來Gillet和Soule完整地建立了任意維數(shù)的Arakelov幾何的理論，還以此工具證明了算術Riemann-Roch定理，成功地將微分幾何中的Atiyah-Singer指標定理和代數(shù)幾何中的Grothendieck-Riemann-Roch定理聯(lián)系起來。
袁新意最初考慮的問題是將Arakelov幾何應用到代數(shù)動力系統(tǒng)中，得到一個等分布的結果。這個問題是把蕭蔭堂的一個代數(shù)幾何的結果推廣到Arakelov幾何中，這個結果在代數(shù)幾何里是比較容易的，而他要做的是這個結果在Arakelov幾何里的復雜得多的算術版本。在總結前人工作的基礎上，他慢慢地將問題轉化成一個復微分幾何的問題。這個問題很湊巧是田剛利用L^2估計方法完成的一個早期工作的推廣，但是L^2估計對不熟悉微分幾何的他來說是難以逾越的障礙。
在經過大概半年的苦苦求索后，重要的一天出其不意地降臨了。那一天，在又一次漫長而無果的探索過后，他向張壽武尋求建議。張壽武建議他去問復幾何領域的專家蕭蔭堂這一步如何實現(xiàn)，因為碰巧蕭蔭堂第二天要去哥倫比亞大學作報告。為了向專家提出準確的問題，他當天反復檢驗整理自己的工作，直到雞鳴月落。寂靜總是伴隨著夜晚，但靈感也往往隨之生發(fā)出來。他突然意識到他不需要推廣完整的證明，而只需要直接從田剛的結果出發(fā)，再用結果去證明加強的版本就行。些微的倦意瞬間被驅散，激動得難以自持的他立刻開始反復檢查自己的思路是否正確。在激情燃燒的工作中，周圍的一切似乎都淡去了，初升的太陽溫暖著他，十年寒窗的辛勤探索在這一刻都變得意義非凡。陽光融化了曾經的困惑，給他留下了純粹的擁有數(shù)學的幸福。
那一次深夜里的突破看似在一瞬之間，實際卻是多年知識累積和日夜思索的結果。從學生向研究者的轉變也自然而然地完成了。在本科時代就藏在袁新意心底的疑問現(xiàn)在終于有了答案。
三、向“最迷人的問題”前進
隨著知識和技術的積累，袁新意渴望向更深刻的數(shù)論問題前進。數(shù)論中有很多迷人的問題，而最吸引他的則是BSD猜想。
BSD猜想可以被粗略地描述為建立橢圓曲線E的有理點集形成的有限生成Abel群的算數(shù)信息和與之相對應的Hasse-Weil L-函數(shù)L(E,s)在s=1的泰勒展開式的分析信息之間的聯(lián)系。這是一個關于橢圓曲線上有理點結構刻畫的深刻猜想，同時也被克雷數(shù)學研究所列為千禧年七大數(shù)學問題之一。數(shù)學家為了解決這個猜想發(fā)明了大量的數(shù)學工具，而Gross-Zagier公式就是目前推進BSD猜想證明的最有力工具之一。在上世紀50年代，Heegner通過超越方法得到了橢圓曲線上的一個有理點（即對應的方程的一個有理解），但是超越方法得到的這個解有著復雜的冪級數(shù)的形式，雖然它被證明收斂到了有理數(shù)，因而確實是一個有理點，但我們甚至不知道它是否只是平凡的撓解。Gross-Zagier公式就是通過利用L函數(shù)來檢驗這個解是否平凡的工具，因為它也反映了L函數(shù)與解的信息之間的關系，所以和BSD猜想有著很直接的聯(lián)系。這種聯(lián)系很快被數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，在上世紀80-90年代，數(shù)學家利用Gross-Zagier公式解決了階數(shù)為0和1的BSD猜想。
袁新意老師2018年在加州大學伯克利分校上課
袁新意對BSD猜想的熱情來自本科時閱讀的一本橢圓曲線的英文教材。當時的他還不太理解這個猜想的描述，但他已經暗暗地希望自己可以為這個猜想的解決做出貢獻。可以實現(xiàn)青年時期夢想的人總是幸運得讓人嫉妒，博士學位問題攻克后，他的技術能力和知識水平已經可以讓他嘗試挑戰(zhàn)這個猜想了。更加幸運的是，他的導師張壽武老師除了Arakelov幾何之外，也是Gross-Zagier公式領域的專家。于是他便轉換興趣，開始學習Gross-Zagier公式的相關應用和推廣。恰好他本科和研究生的同學，后來也成長為“黃金一代”的代表數(shù)學家張偉此時也在張壽武門下學習Gross-Zagier公式。于是研究的過程一如美好的昨日，“記得在哥大討論班結束后我們從樓里出來，頭頂是夜空清冷的月光，那種感覺，就跟本科時討論班結束后我們深夜回宿舍時的感覺一樣。”他和張壽武，張偉合作，證明了Gross-Zagier公式相關的一系列重要結果。 袁新意的另一個重要成果是和張壽武合作，證明了Colmez猜想的平均形式。“實際上另一組數(shù)學家Andreatta—Goren—Howard—Madapusi-Pera也獨立地證明了這個猜想。”采訪中，袁新意笑著補充。這個公式是關于帶復乘的阿貝爾簇的Faltings高度的計算。猜想的原始版本過于困難，但是經過研究發(fā)現(xiàn)，可以把一些相關的項的Faltings高度加起來做一個平均，而這些相關的項是被同一個域所復乘的，這個平均值的計算就會容易很多。“我們在2008至2009年已經在這個問題上有所突破，完成了部分證明。不過當時沒有看到這個平均Colmez猜想的應用，所以后半部分的證明就被擱置了。”后來到了2014至2015年，加拿大青年數(shù)學家Tsimerman在前人工作的基礎上嘗試證明另一個數(shù)論中的重要猜想：志村簇的André–Oort猜想，他的證明依賴于平均Colmez猜想。于是意識到這個定理具有重要應用的袁新意和張壽武再次合作，最終完成了全部的證明。
此外，袁新意還獨立證明了全實域上的志村（Shimura）曲線的高度公式。志村曲線是模曲線的一種推廣，它們都是一維的志村簇。志村曲線的高度被定義為一個實數(shù)，這個實數(shù)可以衡量曲線在算術范圍內的復雜度。袁新意最終證明了志村曲線的高度可以表達為戴德金zeta函數(shù)在s=2處的導數(shù)，其中戴德金zeta函數(shù)是大家所熟知的黎曼zeta函數(shù)將有理數(shù)域換成代數(shù)數(shù)域得到的。這一工作推廣了之前Kulda—Rapport—Yang在有理數(shù)域的志村簇上的公式，可以視為經典的Kronecker極限公式在現(xiàn)代算術幾何里的延伸。
四、未來探求：從精密結構到新的理論
袁新意的一系列工作得到了國際同行的廣泛認可，文章多次發(fā)表在數(shù)學界最頂尖的期刊（如Annals of Mathematics，Inventionesmathematicae）上。這是令很多數(shù)學家艷羨的成就，但對他來說，更讓人興奮的是這一系列工作背后的精密結構。上面提到的三個工作的證明可以被同一框架所概括：幾何對象的高度（算術信息）可以用L函數(shù)的導數(shù)（分析信息）來表達。在他和張壽武、張偉合作進行Gross-Zagier公式的推廣時，他開始逐步意識到這一點。而后在證明平均Colmez猜想和志村曲線的高度公式時，二者的關系則展現(xiàn)得更加完善。當他們考慮比較兩組生成函數(shù)形成的模形式，其中一組描述志村曲線的點的算術相交數(shù)（即高度），反應幾何對象的算術信息；另一組描述愛森斯坦級數(shù)的求導，給出了分析信息。這兩組模形式作為冪級數(shù)會在很深刻的意義上表現(xiàn)出“幾乎相等”的性質。比如取出兩邊在重要性意義下的主項，比較它們的對應項，這些對應項的相等性質（在不考慮余項的情形下）就會給出Gross-Zagier公式；而兩邊退化的對應項會給出平均Colmez猜想；另外高度退化的對應項會給出志村曲線的高度公式。這種結構性的深刻聯(lián)系帶來了很多數(shù)論中的公式和猜想，雖然它還沒有被很明確地認識，但這種求之不得的美可能也是令袁新意沉醉其中的魅力所在。
數(shù)學中心院落外景
袁新意在Arakelov幾何和Gross-Zagier公式相關領域都取得了不凡的成績，但他并不滿足，“我最關心的BSD猜想，現(xiàn)有的方法還是遇到了瓶頸。”如前所述，BSD猜想階數(shù)0和階數(shù)1的情形已經被較好地解決，但是對更高階數(shù)的BSD猜想，現(xiàn)在幾乎沒有任何好的想法。于是袁新意渴望建立新的數(shù)學理論，雖然從數(shù)學的發(fā)展程度來看，目前BSD猜想還遠未到被徹底證明的時機，但一方面出于自己的性格，他不太熱衷于跟著別人的想法；另一方面Gross-Zagier公式雖然還有非常廣泛而美妙的問題等待探索，但面對高階BSD猜想已經比較吃力。
尾聲
如同數(shù)學史上常常發(fā)生的那樣，在數(shù)學工具因發(fā)展完善而慢慢放緩前進的步伐之時，新的數(shù)學也在呼之欲出。懷著對全新數(shù)學的期待，袁新意再次回到了曾經無比熟悉的燕園。在美國頂尖高校豐富的任教與研究的經歷讓他有很深的觀察：哈佛、普林斯頓、伯克利等美國頂尖高校由于長期以來積累的學科優(yōu)勢，以及一些文化或制度方面的原因，師生都比較放松、自信，這種氛圍對做研究來說是非常有利的，國內高校在這方面仍然存在差距。“但我們也在迎頭趕上，國外頂尖高校的數(shù)學系規(guī)模普遍較小，而北大這邊，新近眾多高手的加盟讓這里有了更多相互交流的可能性，在數(shù)論的研究方面逐步形成了某種規(guī)模優(yōu)勢。數(shù)論的各個分支的專家就在隔壁辦公室，只需要敲個門便可以交流討論。”袁新意對發(fā)展自己的全新數(shù)學充滿了期待。
通過一系列定理的證明，籠罩在算術與分析橋梁上的細密網格已經羅織起來，而能否通過新的理論框架將整張大網一舉提起呢？讓我們靜靜地等待吧，袁新意所追求的新的數(shù)學，也許就會像燕園冬日的飛雪一樣，在一個寂靜的夜晚悄無聲息地在他身旁飄落，等待著他輕輕捧起。
采訪、撰文 | 季策
