人物介紹
安金鵬
北京大學數(shù)學科學學院數(shù)學系教授 ，研究方向為李群理論和相關(guān)的動力系統(tǒng)、數(shù)論問題。
一、修煉內(nèi)功，潛心科研
數(shù)學和數(shù)學家是相互成就彼此的貴人，是見證彼此成長的守護人。安金鵬教授從小為數(shù)學著迷，當努力和天分完美搭配，他對數(shù)學的潛力通過一枚IMO的金牌得到了證明。在保送到北京大學數(shù)學科學學院之后，安金鵬正式開始了數(shù)學的探索之路，聽課與自學幾乎占據(jù)了他全部的本科生活，內(nèi)心充盈與滿足的他為他熱愛的數(shù)學燃燒著屬于他的芳華。本科結(jié)束后安金鵬以優(yōu)異的成績留校開始了研究生階段的學習，在此期間他以李群為研究方向，主要涉及李群的結(jié)構(gòu)與有限維表示。后來，隨著研究的深入，他考慮到經(jīng)典的李群理論發(fā)展得比較成熟，已經(jīng)不是研究的主流，就逐漸將研究方向轉(zhuǎn)為李群作用的動力系統(tǒng)。這一領(lǐng)域不僅有很多重要的問題留待探索，更吸引人的是其與數(shù)論的密切聯(lián)系。
在談及這種轉(zhuǎn)變時，安金鵬著重強調(diào)了數(shù)學工作中打好基礎(chǔ)的重要性。在他看來，在打基礎(chǔ)和做研究的安排上，通常有兩種途徑：一是越快到前沿越好，先看前沿的文章，邊做邊學，這樣會發(fā)展的比較快，但可能會有弱點——即只了解一個方向的內(nèi)容，而現(xiàn)在不同方向交叉的情況很多，當用到其他方向的知識時，就會面臨較大的困難；第二個途徑，如果在學生時期有條件和興趣，最好先把基礎(chǔ)打牢，不同方向都了解一些。不一定有非常精深的理解，但要知道這些方向要做什么事，有什么主要的結(jié)論、工具。通過這種途徑，盡管可能科研的起步稍慢，但在之后的研究中會有更多的思路和方法，而不過分依賴某一種工具。安金鵬研究方向的順利轉(zhuǎn)換，也和他深厚的數(shù)學基礎(chǔ)有關(guān)。
在加拿大做博士后期間，安金鵬對基礎(chǔ)的重要性有了更進一步的認識。當時他的導(dǎo)師提出一個有應(yīng)用背景的線性代數(shù)問題：任意一個3階復(fù)矩陣是否酉相似于（1,2），（2,3），（3,1）元均為零的復(fù)矩陣。雖然這個問題看上去很初等，但是用線性代數(shù)的方法非常難做，據(jù)說很多人都做不動。在他考慮了幾天之后，發(fā)現(xiàn)這個問題可以轉(zhuǎn)化為向量叢的截面是否總有零點的問題，從而可以利用微分幾何中的陳省身示性類和拓撲中的上同調(diào)理論在更廣的框架下得到解決[i]。正是他對幾何與拓撲比較熟悉，才能跳出線性代數(shù)的限制，用更高的觀點解決眼前的問題。許多年過去，在回顧這個小問題時，他依然十分感慨于打好基礎(chǔ)的重要性。
二、源頭活水，引得清流
多年的勤奮工作在近年來逐漸有了成果。安金鵬的李群背景使其在數(shù)論、幾何和動力系統(tǒng)領(lǐng)域有了一些出色的結(jié)果。在其中他比較喜愛的兩個工作是從李群的角度出發(fā)對數(shù)論中的Schmidt猜想和譜幾何的研究。
在Schmidt猜想方面，安金鵬證明了加權(quán)劣態(tài)逼近向量集Bad(r, s)是致勝集（winning set) [ii]。為了理解這個工作，需要對背景做一個簡介。齊性動力系統(tǒng)作為李群作用的動力系統(tǒng)的一個分支，和數(shù)論中的丟番圖逼近有很強的關(guān)系。最經(jīng)典的丟番圖逼近研究用有理數(shù)逼近無理數(shù)的優(yōu)劣程度，這種逼近可以推廣到向量的情形。丟番圖逼近中有一個著名的猜想——Schmidt 猜想：Bad(1/3, 2/3) 和Bad(2/3, 1/3)的交集非空，其中Bad(r, s)表示權(quán)重為r,s的二維劣態(tài)逼近（badly approximable）向量集。此猜想于2011年被Badziahin, Pollington ,Velani證明 [iii]。此猜想與齊性動力系統(tǒng)有關(guān)。安金鵬一方面看了他們的文章，另一方面又了解到致勝集的概念，致勝集有很好的性質(zhì)，可數(shù)個致勝集的交集還是致勝集，并且致勝集的Hausdorff維數(shù)等于全空間的維數(shù)。如果能證明二維的劣態(tài)逼近向量集是致勝集，那么Badziahin他們的結(jié)果自然成立，并且關(guān)于權(quán)重的條件可以去掉。以前的數(shù)學工作者也想到了這一點。
雖然Schmidt證明了Bad(1/2, 1/2) 是致勝集，但以前的主流觀點還是不太相信一般的Bad(r, s)也是致勝集。安金鵬證明了Bad(r, s)是致勝集，這個工作“是讓同行覺得有些驚訝的”。此后，許多國內(nèi)外機構(gòu)邀請他訪問。其中便有德國著名的Oberwolfach研究所。在該研究所有一種特殊的會議形式：組織一批學者來學習他人的工作，再由這些學者來講解這些工作。安金鵬關(guān)于致勝集的工作出來之后，成為了Oberwolfach研究所的主題之一，一批學者先學習他的文章，再介紹其中的細節(jié)。那時安金鵬在場，發(fā)現(xiàn)許多外國專家能從邏輯上看懂他的文章，卻不知道他想法的由來。劣態(tài)逼近向量能翻譯成動力系統(tǒng)的性質(zhì)，從更廣的角度，安金鵬與合作者提出了動力系統(tǒng)的Schmidt猜想。他目前還在與國內(nèi)外同行一起研究該猜想的一些具體情形，嘗試獲得更多的進展。
另一個讓安金鵬得意的工作是用李群得到譜幾何的結(jié)果。譜幾何主要關(guān)心的一個問題是：Laplace算子的譜一樣的兩個黎曼流形，其他的幾何性質(zhì)和拓撲性質(zhì)是否一樣？形象地說，能不能根據(jù)鼓的聲音描繪鼓的形狀？早期的研究表明Laplace算子的譜決定了流形的維數(shù)，同時流形的體積也被譜所決定[iv]。之后Milnor給出譜相同卻不等距同構(gòu)的流形的例子[v]。后來，安金鵬和兩位合作者給出這樣的例子：兩個緊致無邊的單連通黎曼流形,其對應(yīng)的Laplace算子具有相同的譜，但兩個流形并不同胚[vi]。判斷譜相同的流形是否同胚是譜幾何中的基本問題，在以前的例子里面，流形要么帶邊，要么非緊，要么不是單連通的。而他與合作者舉出的例子并沒有這些限制。事實上他們舉出的一系列例子都是李群的齊性空間，例如SU(6)/U(3)和SU(6)/SO(4)×SU(2)。
在回顧自己的工作時，安金鵬表示，自己做的方向雖然龐雜，比如動力系統(tǒng)、數(shù)論、幾何等方面，但都是從李群的角度出發(fā)，有著連貫的線索。
三、回顧過往，寄語未來
回顧自己學習與科研的路程，安金鵬獲得了許多做研究的思路和心得。
在研究的時候，有些問題是明確的，比如前面提到的復(fù)矩陣的酉相似問題，明確的問題往往很多人都做不出來，自己能做出來的可能性就比較小。他認為，問題做不動是常態(tài)，“想做十個問題，能做出來一個就不錯了。”這時候可以換其他的研究思路。當我們想要了解一個數(shù)學對象，而具體的問題比較模糊，這時可以提出很多新問題，這些問題如果解決了，或者做出非平凡的結(jié)果，都有助于更深入地了解對象。
如果在科研中遇到困難，可以嘗試另一個研究思路。每個科研工作者，都有非常熟練的工具作為看家本領(lǐng)，別人對這些工具不熟悉，自己就能做些其他人做不了的事，形成獨特性。比如在齊性動力系統(tǒng)方面，對于做動力系統(tǒng)出身的工作者，李群是相對的弱項，盡管安金鵬不太熟悉動力系統(tǒng)的知識，也是邊做邊學，但李群是強項，會有一個不太一樣的視角。
安金鵬的研究工作獲得了廣泛的認可。而在講臺上，他也因認真負責的態(tài)度、清晰的思路和有特色的講義編排而受同學們的歡迎。對自己的學生們，他毫不吝嗇地給出了許多學習與科研的建議。他認為，在上課、看書的時候，經(jīng)常會容易產(chǎn)生這樣的困惑：一套理論從頭到尾正確、完整、漂亮，但不知道起源和用處。這時應(yīng)該先了解這套理論的歷史發(fā)展、和其他方向的聯(lián)系、現(xiàn)在的用處，知道它為何重要。如果不了解，學習的效率不高，就很容易陷入迷茫。安金鵬舉了一個例子，復(fù)變函數(shù)的理論體系完整、漂亮，盡管有未解決的問題，但單復(fù)變已經(jīng)不是主流研究方向，如果不做復(fù)變，為什么要學？事實上復(fù)變函數(shù)是解析數(shù)論中最重要的工具，如果在學復(fù)變的過程中，多了解其在復(fù)幾何、解析數(shù)論等領(lǐng)域的應(yīng)用，就會有更深刻的動機繼續(xù)學習。
還有一個例子，高等代數(shù)主要處理有限維線性空間和線性映射，有同學問到：無窮維線性空間是不是不太重要？其實無窮維非常重要，它是泛函分析的研究對象。現(xiàn)代數(shù)學，希望把考察的對象放在一起，組成一個大的集合，這個大集合在很多時候都是無窮維空間，而且如果這個集合不具有線性性，往往需要對他們加以線性化。所以無窮維線性空間其實是描述很多數(shù)學對象的重要工具。很多平常學習的數(shù)學對象都值得更進一步地發(fā)掘，如果有這樣的認識，在學習上就會有更多的動力，也更容易產(chǎn)生新的想法。
安金鵬在之前接受媒體采訪時曾表示：“在思考數(shù)學的過程中得到是一種享受，無論一個問題能不能做出來，如果能做出來會覺得很興奮；但是，更多的時候做不出來，即使做不出來，我自己也是一種很快樂的經(jīng)歷。”相信在他的數(shù)學道路上在“順便”收獲更多好的工作成果的同時，他也會收獲更多的快樂。
References:
i. Universal subspaces for compact Lie groups (with Dragomir Djokovic), J. Reine Angew. Math. 647 (2010), 151-173.
ii. 2-dimensional badly approximable vectors and Schmidt's game, Duke Math. J. 165 (2016), no. 2, 267-284.
iii. On a problem in simultaneous Diophantine approximation: Schmidt’s conjecture. D. Badziahin, A. Pollington, S. Velani. Annals of Mathematics, 2011, 174(3): 1837-1883.
iv. S. Minakshisundaram, Eigenfunctions on Riemannian manifolds. J. Indian Math. Soc. 17 (1953), 159–165.
v. J. Milnor, Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 51 (1964), 542
vi. On the dimension datum of a subgroup and its application to isospectral manifolds (with Jiu-Kang Yu and Jun Yu), J. Differential Geom. 94 (2013), no. 1, 59-85.
文字 | 郭子可、季策
圖片 | 陳平平
